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Philosophie Etappe 03 von 09

Widerspruch und Gegenbeispiel

Vorbereitung auf die Doppelstunde · etwa 85 Minuten

So gehen Sie vor

Diese Etappe bearbeiten Sie vor der Doppelstunde zu Hause. Gehen Sie die fünf Schritte der Reihe nach durch. Sie müssen nicht alles in einem Zug schaffen. Ihre Antworten bleiben in diesem Browser gespeichert, und wenn Sie auf demselben Gerät zurückkommen, bringt Sie der Knopf »Weitermachen« zur nächsten offenen Aufgabe.

  1. 01Einstieg5 Min.

    Sie lesen die Ausgangsfrage und halten eine erste Antwort fest.

  2. 02Erklärung16 Min. Video

    Sie sehen das Video oder lesen die Lesefassung; eines von beiden genügt.

  3. 03Üben45 Min.

    Sie bearbeiten 9 Aufgaben, 8 davon mit sofortiger Rückmeldung.

  4. 04Ihre These15 Min.

    Sie erproben das neue Werkzeug an Ihrer eigenen These für »Change my Mind«.

  5. 05Rückblick5 Min.

    Sie prüfen Ihre erste Antwort, schätzen sich ein und schließen die Etappe ab.

Mit dem Einstieg beginnen →
Was Sie brauchen und wo Ihre Antworten landen

Sie brauchen ein iPad oder einen Computer und für das Video Kopfhörer. Ohne Kopfhörer nehmen Sie die Lesefassung; sie enthält dasselbe wie das Video.

Die meisten Aufgaben beantworten Sie direkt auf dieser Seite und bekommen sofort eine Rückmeldung. Aufgaben ohne Antwortfeld schreiben Sie ins Heft oder in Ihre Notiz-App und tippen danach hier auf »Erledigt«.

Die Arbeit an Ihrer These kommt in jeder Etappe auf ein eigenes Blatt. Sammeln Sie die Blätter in einer Mappe oder in einer Notiz »Change my Mind« in Ihrer Notiz-App; in der Werkstatt am Ende des Bandes brauchen Sie alle.

Ohne Anmeldung bleibt alles in diesem Browser. Mit Ihrem Schülerzugang gehören die Ergebnisse der Aufgaben mit Antwortfeld, der Abschluss, Ihre Selbsteinschätzung und Ihre Antwort im Rückblick zu Ihrem Bereich, auch auf einem anderen Gerät. Ihre erste Antwort, Ihre Notizen und die Haken bei Heftaufgaben bleiben immer in diesem Browser. Meldet sich hier später jemand mit einem anderen Code an, legt die Seite Ihren Stand beiseite, bis Sie sich wieder anmelden.

Und was passiert in der Doppelstunde?

Die Doppelstunde beginnt mit den Stolpersteinen der Klasse, also mit den Denkfehlern, die in den Aufgaben am häufigsten vorkamen. In diese Liste gehen nur Antworten ein, die über Ihren Schülerzugang bei mir ankommen. Am sichersten melden Sie sich an, bevor Sie üben; was Sie vorher in diesem Browser geübt haben, reicht die Seite bei der Anmeldung nach. Das gilt nicht auf einem Gerät, an dem vorher schon jemand anderes angemeldet war: Dort gehört der Stand im Browser dieser Person.

Danach vertiefen wir das Werkzeug am Material und arbeiten an den Thesen weiter. Wer die Etappe vorher nicht geschafft hat, holt sie in der Stillarbeit nach; die Lesefassung geht auch ohne Kopfhörer.

Erst selbst nachdenken

5 Minuten

Am Ende der zweiten Etappe habe ich Ihnen einen Vogel versprochen, der einen Satz gestürzt hat, den anderthalbtausend Jahre lang jeder für wahr gehalten hatte. Bevor er kommt, eine Wette: Sie vertreten »Alle Schwäne sind weiß«, ich vertrete »Nicht alle«, und wir sehen uns Schwäne an, so viele wir wollen. Wie viele weiße müssen Sie mir zeigen, damit Sie gewonnen haben, und wie viele schwarze muss ich Ihnen zeigen? Wenn Ihnen die Wette unfair vorkommt: Warum eigentlich?

»rara avis in terris nigroque simillima cygno« – ein seltener Vogel auf Erden, einem schwarzen Schwan zum Verwechseln ähnlich.

Juvenal, Satiren VI, Vers 165, bald nach 115 nach Christus; die Übersetzung ist meine. Der Fall: die Expedition Willem de Vlaminghs an der Westküste Australiens, Fahrt auf den späteren Swan River am 10. Januar 1697, überliefert im Logbuch und in den Bildern des mitreisenden Zeichners Victor Victorszoon. Eine ältere Meldung des Seefahrers Antonie Caen von 1636 über schwarze Vögel, groß wie Schwäne, ist unsicher. Die Asymmetrie von Beweisen und Widerlegen hat Karl Popper in der »Logik der Forschung« (1934) am Schwan beschrieben; ich gebe sie sinngemäß wieder

Bevor Sie weitergehen

Beantworten Sie die Frage zuerst für sich, bevor Sie Video oder Lesefassung öffnen. Ein oder zwei Sätze genügen. Schreiben Sie sie ins Feld darunter, dann zeige ich sie Ihnen im Rückblick wieder. Die Antwort darf falsch sein.

Das können Sie danach: Sie können sagen, wann zwei Aussagen einander widersprechen, und eine Inkonsistenz aufdecken, auch wenn noch niemand weiß, welcher Satz fällt. Sie kippen eine Allaussage mit einem einzigen Gegenbeispiel, das beide Bedingungen erfüllt. Und Sie schwächen eine getroffene These offen ab, statt sie zu verteidigen.

Weiter zu Schritt 2: Erklärung →

Das Werkzeug kennenlernen

Video 16 Minuten oder Lesefassung etwa 19 Minuten

So nutzen Sie die Erklärung

Video und Lesefassung erklären dasselbe, eines von beiden genügt. Das Video führt Sie Schritt für Schritt durch den Gedankengang. Die Lesefassung passt, wenn Sie lieber lesen, keine Kopfhörer haben oder während der Aufgaben etwas nachschlagen wollen.

Achten Sie darauf, wo die Erklärung auf die Ausgangsfrage zurückkommt, und vergleichen Sie das mit Ihrer ersten Antwort.

Video · 16:08 Min. Videotext zum Nachlesen

Lesefassung

Eine Wette, die Sie nicht gewinnen können

Am Ende der zweiten Etappe habe ich Ihnen einen Vogel versprochen, der einen Satz gestürzt hat, den anderthalbtausend Jahre lang jeder für wahr gehalten hatte, und ich habe behauptet, Widerlegen sei leichter als Beweisen. Bevor der Vogel kommt, schlage ich Ihnen eine Wette vor. Sie vertreten den Satz »Alle Schwäne sind weiß«, ich vertrete den Satz »Nicht alle Schwäne sind weiß«. Wir gehen an Seen und Flüsse und sehen uns Schwäne an, so viele wir wollen. Wie viele weiße Schwäne müssen Sie mir zeigen, damit Sie gewonnen haben? Und wie viele schwarze muss ich Ihnen zeigen? Legen Sie sich auf zwei Zahlen fest, bevor Sie die Wette in der Grafik Schritt für Schritt durchspielen.

Zwei Wettscheine

Ihr Wettschein Alle Schwäne sind weiß. Mein Wettschein Nicht alle Schwäne sind weiß. ? Wie viele weiße? ? Wie viele schwarze? und so weiter, ohne Ende Gewonnen? Noch nicht. ein schwarzer Schwan Gewonnen. Verloren.
  1. Sie setzen auf »Alle Schwäne sind weiß«, ich setze auf »Nicht alle Schwäne sind weiß«.
  2. Sie zeigen mir weiße Schwäne, einen nach dem anderen. Jeder passt zu Ihrem Satz, aber keiner entscheidet die Wette. Nach dem tausendsten könnte der nächste schwarz sein, und nach dem millionsten auch.
  3. Ich zeige Ihnen einen einzigen schwarzen Schwan. Damit ist die Wette entschieden, und zwar endgültig.
Die eine Seite wird nie fertig, die andere ist es mit einem einzigen Fund.

Sie können diese Wette nicht gewinnen. Sie können sie nur nicht verlieren, und auch das nur so lange, wie ich keinen schwarzen Schwan finde. Das ist unfair, werden Sie sagen, und Sie haben recht. Woran das liegt, hat mit dem kleinen Wort »alle« zu tun, und es betrifft jeden Streit, den Sie je führen werden. Vorher aber muss der Vogel auftreten.

Rom, Anfang des 2. Jahrhunderts

Mehr als anderthalbtausend Jahre lang standen die Menschen in Europa auf Ihrer Seite dieser Wette, ohne es zu merken. Jeder Schwan, den je einer von ihnen gesehen hatte, war weiß, und niemand musste den Satz »Alle Schwäne sind weiß« eigens behaupten, weil niemand an ihm zweifelte. Wie selbstverständlich er war, zeigt ein Vers des römischen Dichters Juvenal, geschrieben wohl bald nach dem Jahr 115 nach Christus.

»Rara avis in terris nigroque simillima cygno.«

Ein seltener Vogel auf Erden, einem schwarzen Schwan zum Verwechseln ähnlich.

Juvenal, Satiren VI, Vers 165 · eigene Übersetzung

Juvenal meint mit dem seltenen Vogel eine Ehefrau ohne Fehler, und er meint, dass es sie nicht gibt. Der schwarze Schwan steht bei ihm für das Unmögliche, so wie wir heute sagen, eher friere die Hölle zu. Die Redensart hielt sich in Europa über Jahrhunderte, und sie funktionierte nur, weil jeder wusste, dass es schwarze Schwäne nicht gibt.

Ein Fluss, im Januar 1697

Am 10. Januar 1697 fuhren Männer des niederländischen Kapitäns Willem de Vlamingh mit Booten einen Fluss hinauf, an der Westküste des Kontinents, den man später Australien nennen würde. De Vlamingh suchte im Auftrag der Ostindien-Kompanie nach einem verschollenen Schiff. Seine Männer fanden etwas anderes, nämlich schwarze Schwäne in großer Zahl, mit rotem Schnabel. De Vlamingh nannte den Fluss Zwaanenrivier, Schwanenfluss. So heißt er bis heute, auf Englisch Swan River, und an seinem Ufer liegt die Stadt Perth. Der Zeichner der Expedition, Victor Victorszoon, malte die Schiffe auf dem Wasser und um sie herum die Schwäne.

Der Ehrlichkeit halber muss ich dazusagen, dass der Seefahrer Antonie Caen schon 1636 von schwarzen Vögeln berichtet hatte, groß wie Schwäne. Ob es Schwäne waren, weiß niemand. Gesichert ist der Januar 1697.

Damit war die Wette entschieden, und zwar so, wie sie nur entschieden werden konnte. Anderthalbtausend Jahre voller weißer Schwäne hatten den Satz nicht bewiesen, ein Fluss voller schwarzer hat ihn gestürzt. Im Wembley-Stadion der zweiten Etappe haben 1966 über 90 000 Menschen zugesehen und keinen Satz wahr gemacht; auf dem Swan River hat ein Blick genügt, um einen falsch zu machen. Um zu verstehen, warum das so ungleich verteilt ist, brauchen wir drei Begriffe: den Widerspruch, die Verneinung und das Gegenbeispiel.

Wann zwei Aussagen sich widersprechen

Nehmen Sie die beiden Sätze, um die es auf dem Swan River ging: »Alle Schwäne sind weiß« und »Dieser Schwan hier ist schwarz«. Sie können nicht beide wahr sein. Wenn der eine stimmt, stimmt der andere nicht, und das gilt in beide Richtungen. Genau das meint man, wenn man sagt, zwei Aussagen widersprechen sich.

Ich vereinfache dabei ein wenig und sage es dazu. Logiker nennen diese Beziehung genauer Unverträglichkeit und heben das Wort Widerspruch für den schärferen Fall auf, in dem zwei Sätze auch nicht beide falsch sein können. Diesen Fall zeige ich Ihnen gleich an der Verneinung. Für den Tisch genügt die einfache Fassung, und die lautet: nicht beide wahr.

Können beide zugleich wahr sein?

Satz A Satz B beide wahr? Ihr Satz Alle Schwäne sind weiß. der Fund von 1697 Dieser Schwan ist schwarz. nein Widerspruch Ana Ich mag Empanadas. Leo Ich mag keine. ja kein Widerspruch der Zeuge Um acht stand ich am Fenster. eine Stunde später Um acht saß ich noch im Zug. nein Widerspruch ohne »nicht«
Der Prüfstand fragt nicht, wer recht hat, und nicht, wie laut gestritten wird. Er fragt nur, ob beide Sätze zusammen wahr sein können.

Der Prüfstand stellt eine einzige Frage, und daraus folgen drei Dinge, die regelmäßig durcheinandergeraten. Erstens ist Widerspruch eine Beziehung zwischen Aussagen, nicht zwischen Menschen. Es spielt keine Rolle, wer die Sätze sagt, wie laut gestritten wird oder welcher Satz am Ende wahr ist. Die beiden Sätze der Wette widersprachen sich schon, als noch niemand einen schwarzen Schwan gesehen hatte.

Zweitens ist nicht jede Meinungsverschiedenheit ein Widerspruch. Ana und Leo klingen, als stritten sie, aber ihre Sätze können bequem zusammen wahr sein, denn sie reden über zwei verschiedene Menschen. Man merkt es daran, dass keiner dem anderen etwas absprechen muss, wenn er selbst recht hat.

Drittens können sich nur Aussagen widersprechen, das kennen Sie aus der zweiten Etappe. Eine Frage stellt nichts als wahr hin, ein Befehl auch nicht, und deshalb kann keiner von beiden etwas bestreiten. Wer dagegen widerspricht, behauptet selbst etwas und schuldet nach der ersten Regel des Tischs eine Begründung, sobald jemand ernsthaft zweifelt.

Widerspruch

Zwei Aussagen widersprechen sich, wenn sie nicht beide wahr sein können.

Beispiel»Alle Schwäne sind weiß« und »Dieser Schwan ist schwarz«.

Nicht zu verwechselnmit einer Meinungsverschiedenheit wie der von Ana und Leo, bei der beide Sätze wahr sein können.

Der dritte Fall auf dem Prüfstand verdient einen zweiten Blick, weil die Sätze dort nicht so ordentlich nebeneinanderstehen wie in der Wette. Ein Zeuge sagt vor Gericht: »Um acht Uhr stand ich am Fenster und habe den Wagen wegfahren sehen.« Eine Stunde später, bei einer anderen Frage, sagt er: »Um acht saß ich noch im Zug.« Die Sätze liegen weit auseinander, und keiner enthält ein »nicht«. Trotzdem können sie nicht zusammen wahr sein. Eine Menge von Sätzen, die nicht alle zusammen wahr sein können, nennt man inkonsistent. Solche Inkonsistenzen aufzudecken ist eine der ältesten Übungen der Philosophie; Sokrates hat auf den Straßen Athens wenig anderes getan.

DenkpauseDie Verteidigerin hat die Inkonsistenz bemerkt und steht auf. Welchen der beiden Sätze des Zeugen kann sie jetzt als falsch bezeichnen?

Keinen bestimmten. Gezeigt ist nur, dass einer der beiden Sätze fallen muss, nicht welcher; vielleicht hat sich der Zeuge mit der Uhrzeit am Fenster vertan, vielleicht mit der Zugfahrt. Wer eine Inkonsistenz aufdeckt, hat keinen Satz widerlegt, sondern den Sprecher zu einer Entscheidung gezwungen. Er muss einen Satz räumen, und man darf fragen, welchen.

In einem Streit ist diese Entscheidung oft mehr wert als ein Beweis. Getroffen werden dabei Sätze, nicht Menschen. Der Zeuge ist kein schlechter Mensch, weil zwei seiner Sätze sich nicht vertragen; er hat ein Problem, das er lösen muss. Dieses Werkzeug kommt in der siebten Etappe wieder, wenn Sie ein Argument an seinen Stützen angreifen.

Das Gegenteil ist nicht die Verneinung

Zurück zur Wette und zu der Frage, warum mir ein einziger Schwan genügt. Viele denken, wer den Satz »Alle Schwäne sind weiß« bestreite, behaupte das Gegenteil, also »Kein Schwan ist weiß«. Das wäre aber selbst eine Allaussage, ein Satz über ausnahmslos alle Schwäne, und er würde am ersten weißen Schwan scheitern, den man ihm zeigt. So etwas habe ich in der Wette nie behauptet. Ich habe die Verneinung vertreten, und die ist viel bescheidener. »Nicht alle Schwäne sind weiß« heißt nur, dass mindestens ein Schwan nicht weiß ist. Über die Farbe der übrigen sage ich nichts.

Wie groß der Unterschied ist, sieht man am besten, wenn man die drei Sätze in drei möglichen Welten prüft.

Drei Sätze in drei möglichen Welten

Welt 1 alle weiß Welt 2 alle schwarz Welt 3 gemischt die Allaussage Alle Schwäne sind weiß. wahr falsch falsch ihr Gegenteil Kein Schwan ist weiß. falsch wahr falsch ihre Verneinung Nicht alle Schwäne sind weiß. falsch wahr wahr
  1. Drei Welten mit je vier Schwänen. »Alle Schwäne sind weiß« ist nur in der ersten Welt wahr.
  2. Das Gegenteil, »Kein Schwan ist weiß«, ist nur in der zweiten Welt wahr. In der dritten Welt sind beide Sätze falsch. Allaussage und Gegenteil können also nicht beide wahr sein, wohl aber beide falsch.
  3. Die Verneinung, »Nicht alle Schwäne sind weiß«, ist in der zweiten und dritten Welt wahr. Vergleichen Sie die erste und die letzte Zeile. In jeder Welt ist genau einer der beiden Sätze wahr, nie beide und nie keiner.
Schema. Wer das Gegenteil behauptet, setzt auf die zweite Welt; wer verneint, gewinnt in der zweiten und in der dritten.

In der dritten Welt steckt der ganze Unterschied. Die Allaussage und ihr Gegenteil schließen sich zwar aus, aber in einer gemischten Welt irren sich beide. Die Allaussage und ihre Verneinung dagegen können weder beide wahr noch beide falsch sein. Entweder sind alle Schwäne weiß, oder mindestens einer ist es nicht, und etwas Drittes gibt es nicht. Das ist der scharfe Widerspruch, den ich oben angekündigt habe. Und deshalb ist meine Seite der Wette so bequem. Ich habe fast nichts behauptet, und für fast nichts genügt als Begründung ein einziger Vogel.

Das entlastet Sie auch zu Hause. Sonntagabend sagt die Mutter zum Sohn: »Du räumst nie auf.« Auch »nie« ist eine Allaussage, denn es redet über ausnahmslos alle Tage und behauptet, an keinem sei aufgeräumt worden. Wer das bestreitet, muss nicht das Gegenteil behaupten, er räume immer auf. Er behauptet nur die Verneinung, nämlich dass er mindestens einmal aufgeräumt hat, und die Begründung, die er nach der ersten Regel des Tischs schuldet, ist ein einziger Dienstag. Widerlegen ist leichter als Beweisen, weil die Verneinung einer Allaussage so wenig behauptet, dass ein einziger Fall sie belegt.

Nicht jede Allaussage trägt ihr »alle« oder »nie« sichtbar vor sich her. Wer sagt »Wer viel liest, schreibt gute Aufsätze«, meint meistens jeden, der viel liest, auch wenn das Wort »jeder« fehlt. Dann genügt auch hier ein einziger Vielleser mit schwachen Aufsätzen, um den Satz zu widerlegen.

Das Gegenbeispiel und seine zwei Bedingungen

Ich stelle mir eine Allaussage gern als Gehege vor. Sie zieht einen Zaun um eine Gruppe, hier um alle Schwäne, und behauptet etwas über jedes einzelne Tier darin, hier, dass es weiß ist. Ein Gegenbeispiel ist dann ein Tier, das im Gehege steht und die behauptete Eigenschaft nicht hat.

Gegenbeispiel

Ein einzelner Fall, der eine Allaussage widerlegt. Er muss zwei Bedingungen erfüllen, und zwar beide.

Bedingung 1Er gehört zur Gruppe, über die die Allaussage redet.

Bedingung 2Er verfehlt die Eigenschaft, die die Allaussage behauptet.

BeispielDer schwarze Schwan vom Swan River gegen »Alle Schwäne sind weiß«.

Der Vogel von 1697 war ein Schwan, und er war nicht weiß; beides zusammen kippt den Satz. Der Dienstag war ein Tag im Leben des Sohnes, und an ihm war das Zimmer aufgeräumt. Auch das ist beides zusammen, und darum kippt er das »nie«.

Wie leicht die erste Bedingung übersehen wird, zeigt ein kurzes zweites Beispiel. Gegen den Satz »Alle Vögel können fliegen« führt jemand die Fledermaus an, die fliegt schließlich. Im Gehege sieht man sofort, was daran nicht stimmt.

Wo ein Gegenbeispiel stehen muss

Alle Vögel können fliegen. fliegt fliegt nicht Hier darf laut Satz kein Vogel stehen. hunderte Vögel im Park stützen den Satz nur Fledermaus kein Vogel Pinguin Gegenbeispiel Der Satz fällt.
  1. Die Allaussage »Alle Vögel können fliegen« als Gehege. Der Zaun umschließt die Gruppe, über die der Satz redet, also die Vögel.
  2. Die gestrichelte Linie trennt, was fliegt, von dem, was nicht fliegt. Der Satz behauptet, dass das rote Feld leer ist, dass es also keinen Vogel gibt, der nicht fliegt.
  3. Die Vögel im Park stehen im Zaun und fliegen. Sie passen zum Satz, aber sie beweisen ihn nicht, denn der Satz redet auch über alle Vögel, die niemand gesehen hat.
  4. Die Fledermaus fliegt, aber sie steht außerhalb des Zauns. Sie verfehlt die erste Bedingung und sagt über Vögel nichts, so gut sie auch fliegt.
  5. Der Pinguin steht im Zaun und fliegt nicht. Er erfüllt beide Bedingungen, und ein einziger Pinguin genügt, damit der Satz fällt.
Schema. Von allen Feldern im Bild zählt nur eines, nämlich das im Zaun, in dem die behauptete Eigenschaft fehlt.

Die Fledermaus hat die richtige Eigenschaft am falschen Ort. Der häufigste Fehler beim Widerlegen ist ein Gegenbeispiel aus dem falschen Gehege, und er ist so verbreitet, weil die Eigenschaft ins Auge springt und der Zaun nicht. Deshalb prüfe ich beide Bedingungen jedes Mal einzeln und in dieser Reihenfolge, auch wenn der Fall eindeutig scheint: erst den Zaun, dann die Eigenschaft.

Warum Beweisen nicht geht

Jetzt kann ich sagen, warum die Wette unfair war. Vor 1697 hatten die Menschen in Europa unzählige Schwäne gesehen, alle weiß, und bewiesen hatten sie damit nichts. Im Gehege gesprochen, hatten sie nur Tiere gezählt, die zum Satz passen, so wie die Vögel im Park zu »Alle Vögel können fliegen« passen. Die Allaussage redet aber nicht nur über die Schwäne, die jemand gesehen hat, sondern über jeden Schwan im Zaun, auch über die auf einem Fluss am anderen Ende der Welt, den noch kein Europäer befahren hatte. Beispiele können eine Allaussage stützen und plausibel machen, und für den Alltag reicht das meistens. Beweisen können sie sie nur, wenn wirklich jemand das ganze Gehege abgeschritten hat. Ein Gegenbeispiel dagegen erledigt sie endgültig, weil sie versprochen hat, dass es keine einzige Ausnahme gibt.

DenkpauseEin Mitschüler hält dagegen: »1000 weiße Schwäne gegen einen schwarzen, das steht 1000 zu 1 für den Satz.« Was ist an dieser Rechnung falsch?

Gegen eine Allaussage wird nicht aufgerechnet. Der Satz hat nicht »die meisten« versprochen, sondern »alle«, und die eine Ausnahme ist sein Ende. Die 1000 weißen Schwäne zählen dabei gar nichts; sie hätten nur gezählt, wenn der Satz von vornherein bescheidener gewesen wäre.

Der Philosoph Karl Popper hat aus dieser Ungleichheit 1934 in seiner »Logik der Forschung« ein Bild davon gemacht, wie Wissenschaft vorgeht. Ein allgemeines Gesetz lasse sich durch noch so viele Beobachtungen nie endgültig bestätigen, aber durch eine einzige widerlegen, und darum bestehe die Arbeit der Forscher darin, nach dem schwarzen Schwan zu suchen. Ob alle Wissenschaft so arbeitet, bestreiten andere Philosophen bis heute. Den Schwan hat er dabei nicht erfunden. Schon John Stuart Mill hatte 1843 in seinem »System der Logik« an den schwarzen Schwänen gezeigt, dass noch so viele gleiche Beobachtungen einen allgemeinen Satz nicht sichern.

Redlich abschwächen

Bleibt die Frage, was man tut, wenn das Gegenbeispiel die eigene These trifft, und dafür gehe ich zurück in die Küche. Die Mutter hat gesagt: »Du räumst nie auf.« Der Sohn antwortet: »Und letzten Dienstag?« Die Allaussage ist gefallen, und der Mutter stehen drei Wege offen.

Stur bleiben

»Das zählt nicht, einmal ist keinmal.«

Das ist unredlich und außerdem falsch. Ein Dienstag zählt gegen ein »nie« genau so viel wie ein schwarzer Schwan gegen ein »alle«.

Den Zaun heimlich versetzen

»Ich meinte doch nur die Küche.«

Das ist ein Abschwächen, das sich nicht zu erkennen gibt. Wer es bemerkt, traut auch dem nächsten Satz nicht mehr.

Offen abschwächen

»Stimmt, nicht nie. Aber fast nie, und das ist zu selten.«

Die Mutter räumt das Gegenbeispiel ein und vertritt einen Satz, der es verträgt.

Was beim dritten Weg passiert, sieht man an einer Leiter. Derselbe Gedanke lässt sich verschieden stark aussprechen, und die Fassungen stehen übereinander wie Sprossen.

Die Leiter der Fassungen

Fassung verträgt als Ausnahme alle keine fast alle ein paar die meisten fast die Hälfte viele die Mehrheit manche alle bis auf ein paar mindestens einer alle bis auf einen Mutter nie fast nie
  1. Sechs Fassungen desselben Gedankens, von der stärksten oben bis zur schwächsten unten. Rechts steht, wie viele Ausnahmen jede Fassung verträgt.
  2. Ganz oben behauptet ein Satz am meisten. »Alle« verträgt keine einzige Ausnahme, und deshalb kippt ihn ein einziges Gegenbeispiel.
  3. Ganz unten behauptet ein Satz fast nichts. »Mindestens einer« ist mit einem einzigen Beispiel bewiesen, sagt dafür aber auch kaum etwas.
  4. »Nie aufgeräumt« heißt »an allen Tagen nicht aufgeräumt« und steht deshalb auf der obersten Sprosse, »fast nie« heißt »an fast allen Tagen nicht«. Die Mutter steigt also offen eine Stufe hinunter, und der neue Satz verträgt den Dienstag, weil er Ausnahmen ausdrücklich einräumt.
Je weiter oben ein Satz steht, desto mehr behauptet er und desto leichter fällt er.

Stark nennt man eine These, die viel behauptet. Sie hat viel zu verlieren, und oben auf der Leiter genügt ein einziges Gegenbeispiel, um sie zu kippen. Die sicherste These ist deshalb meistens die schwächste; »mindestens einer« wird kaum jemand bestreiten, aber er sagt auch fast nichts. Abschwächen heißt, offen eine Stufe hinunterzugehen, und die neue These verträgt dann Ausnahmen, weil sie sie ausdrücklich einräumt. »Fast nie« kippt an keinem Dienstag mehr. Das ist kein Rückzug, sondern ein Gewinn an Genauigkeit, denn die Mutter hat jetzt einen Satz, der stimmt, statt eines Satzes, der nur laut war.

Auch die Wette vom Anfang wäre auf einer tieferen Sprosse fair gewesen. Hätten Sie »Die meisten Schwäne sind weiß« vertreten, hätte mein schwarzer Schwan nichts entschieden, und wir hätten zählen müssen.

DenkpauseDer Sohn hat mit seinem Dienstag das »nie« erlegt. Hat er den Streit damit gewonnen?

Nein. Gefallen ist nur die Fassung ganz oben auf der Leiter; die abgeschwächte These »fast nie« steht noch, und kein einzelner Dienstag kippt sie. Über das »zu selten« müssen beide jetzt reden, und zwar mit Gründen. Die Mutter schuldet sie für ihre neue These, sobald der Sohn ernsthaft zweifelt, und der Sohn kann diese These nicht mehr mit einem einzelnen Tag abtun.

Das gilt auch für Ihr Plakat vom Pausenhof. Der Weil-Satz darunter ist die Stütze der These, und wenn er eine Allaussage ist, kippt ihn ein einziges Gegenbeispiel. Die These steht dann ohne Stütze da; was das für sie bedeutet, klärt die siebte Etappe. Für jetzt genügt es, den Weil-Satz mit derselben Leiter zu prüfen wie die These.

Das Raster

Wenn Sie in einem Streit einen Satz vor sich haben, gehen Sie so vor.

  1. Fragen Sie, ob zwei Aussagen zusammen wahr sein können

    Fragen Sie nicht, wer recht hat. Eine aufgedeckte Inkonsistenz zeigt, dass ein Satz fallen muss, aber nicht, welcher.

  2. Prüfen Sie, ob der Satz eine Allaussage ist

    Achten Sie auf alle, jeder, immer, nie, niemand und keiner, aber auch auf Sätze, die so gemeint sind, ohne eines dieser Wörter zu enthalten. Wer eine Allaussage bestreitet, behauptet nur, dass mindestens einer die Eigenschaft nicht hat.

  3. Prüfen Sie das Gegenbeispiel an zwei Bedingungen

    Es gehört zur Gruppe, und es verfehlt die Eigenschaft. Aufrechnen hilft gegen eine Allaussage nicht, denn die erste echte Ausnahme genügt.

  4. Trifft es Ihre These, schwächen Sie offen ab

    Gehen Sie eine Stufe auf der Leiter hinunter. Die neue These verträgt Ausnahmen und ist genauer als die alte.

Merksatz

Eine Allaussage kippt an einem einzigen Gegenbeispiel aus ihrer eigenen Gruppe, und kein Berg von Beispielen beweist sie; wer getroffen ist, versetzt nicht heimlich den Zaun, sondern schwächt offen ab.

In der nächsten Etappe setze ich Aussagen zu dem zusammen, wofür sie gemacht sind: zu einem Argument, mit Gründen, die eine These stützen, und dem kleinen Wort »also« dazwischen. Sie lernen, ein Argument aus einem Text herauszulösen, auch wenn der Text sein »weil« und sein »also« verschweigt, es in Standardform zu bringen und die Prämisse zu ergänzen, die der Autor nie ausspricht. Heben Sie Ihre abgeschwächte These und ihren Grund auf; in der vierten Etappe werden sie zur Standardform.

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Das Werkzeug üben

9 Aufgaben · etwa 45 Minuten

So üben Sie
  1. Bearbeiten Sie die Aufgaben der Reihe nach und prüfen Sie jede Antwort, bevor Sie weitergehen.
  2. Lesen Sie die Rückmeldung auch dann, wenn Sie richtig lagen. Sie fügt meistens einen Gedanken hinzu, den Ihre Antwort noch nicht enthält.
  3. Wenn Sie feststecken, holen Sie sich mit »Hinweis anzeigen« einen Denkanstoß. Nach dem zweiten Fehlversuch können Sie sich die Auflösung zeigen lassen.
  4. Manche Aufgaben fragen, wie sicher Sie sich sind. Eine ehrliche Antwort hilft Ihnen und mir mehr als eine mutige.
  5. Aufgaben ohne Antwortfeld schreiben Sie ins Heft oder in Ihre Notiz-App. Tippen Sie danach auf »Erledigt«, damit der Stand oben stimmt.

Verstehen

5 Aufgaben · etwa 15 Minuten

Sitzt, was die Erklärung gezeigt hat? Die falschen Antworten sind keine Fallen, sondern die Denkfehler, die an dieser Stelle am häufigsten vorkommen. Die Rückmeldung sagt Ihnen, welcher es war.

  1. Aufgabe 1 · Auswählen

    Uneins an zwei Mensatischen

    In der Mittagspause sagt Lucía: »Freitags gibt es in der Mensa immer Fisch.« Mateo antwortet: »Letzten Freitag gab es Linsen, ich habe sie selbst gegessen.« Am Nebentisch sagt Emilia: »Mir schmeckt das Mensaessen nicht«, und Santiago sagt: »Mir schon.« An beiden Tischen sind sich zwei Leute uneins. An welchem Tisch widersprechen sich die Aussagen?

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  2. Aufgabe 2 · In Reihenfolge bringen

    Fünf Fassungen der Smartphone-These

    Am Change-my-Mind-Tisch geht es um Smartphones, und fünf Fassungen derselben These liegen auf dem Tisch. Ordnen Sie sie nach Stärke, die stärkste zuerst. Stark ist eine These, die viel behauptet; sie hat viel zu verlieren, und schon ein einziges Gegenbeispiel kann sie kippen.

    1. Alle Schüler unserer Schule haben ein Smartphone.
    2. Fast alle Schüler unserer Schule haben ein Smartphone.
    3. Die meisten Schüler unserer Schule haben ein Smartphone.
    4. Viele Schüler unserer Schule haben ein Smartphone.
    5. Mindestens ein Schüler unserer Schule hat ein Smartphone.

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  3. Aufgabe 3 · Zuordnen

    Die kleine Schwester und die Vögel

    Beim Frühstück behauptet die kleine Schwester: »Alle Vögel können fliegen.« Vier Reaktionen fallen am Tisch. Ordnen Sie jeder Reaktion zu, was sie mit der Allaussage macht. Zwei Karten passen zu keiner Reaktion.

    »Und der Pinguin? Der ist ein Vogel und fliegt trotzdem nicht.«
    »Fledermäuse können fliegen, und die sind gar keine Vögel.«
    »Im Park fliegen jeden Tag hunderte Vögel, schau doch hin.«
    »Na gut. Dann eben: Fast alle Vögel können fliegen.«

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  4. Aufgabe 4 · Auswählen

    Nicos zwei Sätze im Schülerrat

    Im Schülerrat berichtet der Klassensprecher Nico: »Alle Klassen sind zur Hoffest-Planung befragt worden.« Zehn Minuten später sagt er: »Die 5b konnten wir nicht befragen, die war im Landschulheim.« Eine Mitschülerin sagt: »Moment, das passt nicht zusammen.« Was hat sie damit gezeigt, und was nicht?

    Weiter zu Aufgabe 5 →
  5. Aufgabe 5 · Lücken füllen

    Widerspruch und Gegenbeispiel in drei Sätzen

    Drei Sätze, in denen sich das Werkzeug der Etappe zusammenfassen lässt. Wählen Sie in jeder Lücke das Angebot, das stimmt; die anderen sind die Fehler, die an diesen Stellen am häufigsten gemacht werden.

    Zwei Aussagen widersprechen sich, wenn sie . Wer »Alle Schwäne sind weiß« bestreitet, behauptet damit nur: . Und um die Allaussage zu kippen, genügt .

    Weiter zum Teil »Aus dem Werkzeugkasten« →

Aus dem Werkzeugkasten

2 Aufgaben · etwa 5 Minuten

Hier kommen Werkzeuge aus früheren Etappen zurück, diesmal am neuen Stoff. Wenn eines nicht mehr sitzt, holen Sie sich mit »Hinweis anzeigen« eine Erinnerung oder schlagen in der Etappe nach, aus der es stammt; die Etappenleiste oben führt Sie hin.

  1. Aufgabe 6 · Auswählen

    Wer schuldet im Zimmerstreit eine Begründung?

    Sonntagabend. Die Mutter sagt: »Du räumst nie auf.« Der Sohn sagt: »Das stimmt einfach nicht.« Beide zweifeln ernsthaft am Satz des anderen. Wer schuldet jetzt nach der ersten Regel des Tischs eine Begründung, und wie groß ist sie?

    Weiter zu Aufgabe 7 →
  2. Aufgabe 7 · Zuordnen

    Fünf Antworten auf »Du räumst nie auf«

    Der Streit geht in die zweite Runde, und dem Sohn stehen fünf Antworten auf »Du räumst nie auf« zur Wahl. Ordnen Sie jeder Antwort zu, was sie tut und ob sie der Allaussage widersprechen kann. Nur eine kann es.

    »Letzten Dienstag habe ich mein Zimmer komplett aufgeräumt.«
    »Oma sagt, du hast als Kind auch nie aufgeräumt.«
    »Räum du doch erst mal die Garage auf!«
    »Warum kontrollierst du eigentlich immer nur mich?«
    »Hoffentlich hören wir bald auf zu streiten.«

    Weiter zum Teil »Anwenden« →

Anwenden

2 Aufgaben · etwa 20 Minuten

Jetzt wenden Sie das Werkzeug selbst an, meist an neuem Material. Hier zeigt sich, ob Sie es allein gebrauchen können.

  1. Aufgabe 8 · Im Text markieren

    Allaussagen in Werbung und Pausenhof aufspüren

    Sieben Behauptungen aus Interviews, aus der Werbung und vom Pausenhof. Markieren Sie die, die als Allaussagen formuliert sind, die also ein einziges Gegenbeispiel aus der richtigen Gruppe zu Fall bringen würde.

    Weiter zu Aufgabe 9 →
  2. Aufgabe 9 · Ins Heft schreiben · etwa 15 Minuten

    Das Interview nach dem Pokalfinale

    Nach dem verlorenen Pokalfinale sagt der Trainer im Interview: »Über Schiedsrichter rede ich grundsätzlich nicht. Aber die zwei übersehenen Elfmeter heute muss man ansprechen dürfen. Wir haben völlig verdient verloren, und ohne diese Fehlentscheidungen hätten wir das Spiel klar gewonnen.« Schreiben Sie zuerst die vier Aussagen heraus, die der Trainer macht. Suchen Sie dann die Paare, die nicht zusammen wahr sein können, und erklären Sie bei jedem Paar, warum; achten Sie dabei auf die Allaussage, für die der Trainer im nächsten Satz selbst das Gegenbeispiel liefert. Sagen Sie zu jedem Paar, ob sich aus dem Widerspruch allein ergibt, welcher Satz fällt, oder ob nur feststeht, dass einer fallen muss. Formulieren Sie zum Schluss, was der Trainer mindestens räumen müsste, und notieren Sie ehrlich, was Sie nach Ihrer Prüfung über das Spiel wissen und was nicht.

    Diese Aufgabe hat kein Antwortfeld. Schreiben Sie Ihre Antwort ins Heft oder in Ihre Notiz-App und tippen Sie danach hier auf »Erledigt«.

    Weiter zu Schritt 4: Ihre These →

An Ihrer These weiterbauen

etwa 15 Minuten

Worum es hier geht

Am Ende des Schuljahres sitzen Sie beim Pausenhofprojekt »Change my Mind« hinter Ihrer eigenen These und verteidigen sie gegen jeden, der sich an Ihren Tisch setzt. In jeder Etappe erproben Sie das neue Werkzeug an dieser These, und in der Werkstatt am Ende des Bandes fügen Sie alles zusammen.

Ihre letzte Arbeit an der These gehört zu Etappe 2, zur Aufgabe »Das eigene Plakat auf Wahrheitswerte abklopfen«. Legen Sie dieses Blatt neben sich, bevor Sie weiterschreiben; fehlt es, holen Sie die Aufgabe zuerst nach.

  1. Aufgabe 10 · Für die Mappe schreiben · etwa 15 Minuten

    Das Gegenbeispiel gegen die eigene These

    Holen Sie das Blatt aus der zweiten Etappe hervor, mit Ihrer These und dem Weil-Satz darunter. Klopfen Sie zuerst beide Sätze auf versteckte Allaussagen ab; achten Sie auf »alle«, »jeder«, »nie«, »immer« und »niemand«, aber auch auf Sätze, die so gemeint sind, ohne eines dieser Wörter zu enthalten. Suchen Sie dann das Gegenbeispiel gegen sich selbst, und zwar das stärkste, das ein Gast an Ihrem Tisch finden könnte, und prüfen Sie es an den zwei Bedingungen: Gehört es zur Gruppe, und verfehlt es die Eigenschaft? Wenn es trifft, schwächen Sie die getroffene Fassung offen ab, genau eine Stufe auf der Leiter, bis der Satz das Gegenbeispiel verträgt, und schreiben Sie auf, was der neue Satz noch behauptet und was nicht mehr. Wurde der Weil-Satz getroffen, notieren Sie, was Ihre These dann noch stützt. Heben Sie das Blatt auf; in der vierten Etappe bauen Sie aus der abgeschwächten These und ihrem Grund die Standardform. Und schreiben Sie zum Schluss ehrlich dazu, ob Sie das Gegenbeispiel wirklich gesucht haben oder nur eines, das Ihre These überlebt.

    Schreiben Sie auf ein eigenes Blatt für Ihre Mappe oder in Ihre Notiz »Change my Mind«, unter die Überschrift »Band I, Etappe 3«. Spätere Etappen holen es wieder hervor.

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5 Minuten
Die Ausgangsfrage

Am Ende der zweiten Etappe habe ich Ihnen einen Vogel versprochen, der einen Satz gestürzt hat, den anderthalbtausend Jahre lang jeder für wahr gehalten hatte. Bevor er kommt, eine Wette: Sie vertreten »Alle Schwäne sind weiß«, ich vertrete »Nicht alle«, und wir sehen uns Schwäne an, so viele wir wollen. Wie viele weiße müssen Sie mir zeigen, damit Sie gewonnen haben, und wie viele schwarze muss ich Ihnen zeigen? Wenn Ihnen die Wette unfair vorkommt: Warum eigentlich?

  1. Lesen Sie die Frage und Ihre erste Antwort noch einmal und schreiben Sie darunter, wie Sie jetzt antworten würden. Hat sich etwas geändert, nennen Sie den Gedanken, der Sie umgestimmt hat.
  2. Schätzen Sie ein, wie sicher Sie das Lernziel jetzt beherrschen, und notieren Sie einen Gedanken zur Frage »Zum Weiterdenken«.
  3. Schließen Sie die Etappe ab. Der Haken erscheint dann im Lernpfad des Kurses. Wenn Sie angemeldet sind, geht mit dem Abschluss Ihre Antwort an mich. Was offen geblieben ist, bringen Sie in die Doppelstunde mit.
Selbsteinschätzung

Sie können sagen, wann zwei Aussagen einander widersprechen, und eine Inkonsistenz aufdecken, auch wenn noch niemand weiß, welcher Satz fällt. Sie kippen eine Allaussage mit einem einzigen Gegenbeispiel, das beide Bedingungen erfüllt. Und Sie schwächen eine getroffene These offen ab, statt sie zu verteidigen.

Wie sicher fühlen Sie sich damit jetzt?

Denken Sie an das letzte Mal, dass Ihnen jemand ein Gegenbeispiel gezeigt hat, das traf. Haben Sie es zählen lassen oder mit »Das ist doch etwas anderes« beiseitegeschoben? Und wo halten Sie selbst eine Allaussage aufrecht, obwohl Sie das Gegenbeispiel längst kennen?