Widerspruch und Gegenbeispiel

01 Die Wette

Am Ende der zweiten Etappe habe ich Ihnen einen Vogel versprochen, der einen Satz gestürzt hat, den anderthalbtausend Jahre lang jeder für wahr gehalten hatte. Und ich habe behauptet, Widerlegen sei leichter als Beweisen. Bevor ich den Vogel zeige, schlage ich Ihnen eine Wette vor. Sie vertreten den Satz: Alle Schwäne sind weiß. Ich vertrete den Satz: Nicht alle Schwäne sind weiß. Wir gehen an die Seen und Flüsse und sehen uns Schwäne an, so viele wir wollen.

Wie viele weiße Schwäne müssen Sie mir zeigen, damit Sie gewonnen haben? Und wie viele schwarze muss ich Ihnen zeigen? Die zweite Frage können Sie sofort beantworten: einen. Ein einziger schwarzer Schwan, und Ihr Satz ist erledigt. Bei der ersten Frage geraten Sie ins Stocken. Zehn weiße Schwäne? Tausend? Nach dem tausendsten weißen Schwan könnte der nächste schwarz sein, und nach dem millionsten auch. Sie können die Wette nicht gewinnen.

Sie können sie nur nicht verlieren, und das auch nur so lange, wie ich keinen schwarzen Schwan finde. Das ist unfair, werden Sie sagen. Und Sie haben recht. Warum die Wette unfair ist, und was daraus für jeden Streit folgt, den Sie je führen werden, das ist der Stoff dieser Etappe.

02 Rom, um das Jahr hundert

Die Menschen in Europa standen anderthalbtausend Jahre lang auf Ihrer Seite dieser Wette, ohne es zu merken. Jeder Schwan, den je einer von ihnen gesehen hatte, war weiß. Und niemand musste den Satz eigens behaupten, weil niemand ihn anzweifelte. Beim römischen Dichter Juvenal, um das Jahr hundert nach Christus, steht dieser Vers: rara avis in terris nigroque simillima cygno. Ein seltener Vogel auf Erden, einem schwarzen Schwan zum Verwechseln ähnlich.

Juvenal meint damit eine Ehefrau ohne Fehler, und er meint, dass es sie nicht gibt. Der schwarze Schwan ist für ihn das Unmögliche. So wie wir heute sagen: Eher friert die Hölle zu. Diese Redensart hielt sich in Europa über Jahrhunderte. Und sie funktionierte nur, weil jeder wusste, dass es schwarze Schwäne nicht gibt.

03 Ein Fluss, im Januar sechzehnhundertsiebenundneunzig

Am zehnten Januar sechzehnhundertsiebenundneunzig fuhren Männer des niederländischen Kapitäns Willem de Vlamingh mit Booten einen Fluss hinauf, an der Westküste des Kontinents, den man später Australien nennen würde. De Vlamingh suchte im Auftrag der Ostindien-Kompanie nach einem verschollenen Schiff. Was seine Männer auf dem Fluss fanden, war etwas anderes: schwarze Schwäne. In großer Zahl, mit rotem Schnabel. De Vlamingh nannte den Fluss Zwaanenrivier, Schwanenfluss. So heißt er bis heute, auf Englisch Swan River, und an seinem Ufer liegt die Stadt Perth.

Der Zeichner der Expedition, Victor Victorszoon, malte die Schiffe auf dem Wasser und um sie herum die Schwäne. Der Ehrlichkeit halber muss ich dazusagen: Ein anderer Niederländer hatte sechzig Jahre zuvor von schwarzen Vögeln berichtet, groß wie Schwäne. Ob es welche waren, weiß niemand. Gesichert ist der Januar sechzehnhundertsiebenundneunzig. Damit war die Wette entschieden, und zwar so, wie sie nur entschieden werden konnte. Anderthalbtausend Jahre voller weißer Schwäne hatten den Satz nicht bewiesen.

Ein Fluss voller schwarzer hat ihn gestürzt. In Wembley haben neunzigtausend Augenpaare keinen Satz wahr gemacht. Auf dem Swan River hat ein Blick genügt, um einen falsch zu machen. Um zu verstehen, warum das so ungleich ist, brauche ich drei Werkzeuge. Das erste ist der Widerspruch.

04 Nicht beide wahr

Sehen Sie sich die zwei Sätze der Wette an. Alle Schwäne sind weiß. Und: Dieser Schwan hier ist schwarz. Beide können nicht zugleich wahr sein. Wenn der eine stimmt, stimmt der andere nicht, und das gilt in beide Richtungen. Zwei Aussagen widersprechen sich, wenn sie nicht beide wahr sein können. Ich vereinfache hier ein wenig, und ich sage es dazu. Logiker nennen das genauer eine Unverträglichkeit und heben das Wort Widerspruch für den schärferen Fall auf, in dem zwei Sätze auch nicht beide falsch sein können.

Den zeige ich Ihnen gleich. Für den Tisch genügt die einfache Fassung: nicht beide wahr. Drei Dinge muss ich dazu klarstellen. Erstens: Widerspruch ist eine Beziehung zwischen Aussagen, nicht zwischen Menschen. Es spielt keine Rolle, wer die Sätze sagt, wie laut gestritten wird oder welcher am Ende wahr ist. Die zwei Sätze der Wette widersprachen sich schon, als noch niemand einen schwarzen Schwan gesehen hatte. Zweitens: Nicht jede Meinungsverschiedenheit ist ein Widerspruch.

Ana sagt: Ich mag Empanadas. Leo sagt: Ich mag keine. Das klingt nach Streit. Aber beide Sätze können bequem zusammen wahr sein, denn sie reden über zwei verschiedene Menschen. Man merkt es daran, dass keiner der beiden dem anderen etwas absprechen muss. Drittens, und das kennen Sie aus der zweiten Etappe: Widersprechen können sich nur Aussagen. Eine Frage stellt nichts als wahr hin, ein Befehl auch nicht. Wer aber widerspricht, behauptet selbst und schuldet eine Begründung.

Wie klein die sein kann, kommt gleich. Vorher noch ein Fall, in dem die zwei Sätze nicht so ordentlich nebeneinanderstehen. Ein Zeuge sagt vor Gericht: Um acht Uhr stand ich am Fenster und habe den Wagen wegfahren sehen. Eine Stunde später, bei einer anderen Frage, sagt er: Um acht saß ich noch im Zug. Die Sätze liegen weit auseinander, und keiner enthält ein Nicht. Trotzdem können sie nicht zusammen wahr sein.

Eine Menge von Sätzen, die nicht alle zusammen wahr sein können, nennt man inkonsistent. Solche Inkonsistenzen aufzudecken ist eine der ältesten Übungen der Philosophie. Sokrates hat auf den Straßen Athens wenig anderes getan. Und jetzt achten Sie darauf, was damit gezeigt ist und was nicht. Gezeigt ist, dass einer der beiden Sätze fallen muss. Nicht gezeigt ist, welcher. Vielleicht hat sich der Zeuge mit der Uhrzeit am Fenster vertan, vielleicht mit der Zugfahrt.

Wer eine Inkonsistenz aufdeckt, hat also keinen bestimmten Satz widerlegt. Er hat den Sprecher zu einer Entscheidung gezwungen. Der andere muss einen Satz räumen, und man darf fragen, welchen. Getroffen werden dabei Sätze, nicht Menschen.

05 Das Gegenteil ist nicht die Verneinung

Zurück zur Wette, und zu der Frage, warum mir ein einziger Schwan genügt. Viele Leute denken: Wer den Satz Alle Schwäne sind weiß bestreitet, der behauptet das Gegenteil. Kein Schwan ist weiß. Das wäre aber selbst eine Allaussage, also ein Satz über ausnahmslos alle Schwäne. Und sie würde am ersten weißen Schwan scheitern, den man ihr zeigt. So etwas habe ich in der Wette nie behauptet. Ich habe die Verneinung vertreten, und die ist viel bescheidener.

Nicht alle Schwäne sind weiß, das heißt nur: Mindestens ein Schwan ist nicht weiß. Einer. Über die Farbe der übrigen sage ich gar nichts. Hier sehen Sie auch den scharfen Widerspruch, den ich angekündigt habe. Ein Satz und seine Verneinung können weder beide wahr noch beide falsch sein. Entweder alle Schwäne sind weiß, oder mindestens einer ist es nicht. Eines von beiden gilt, und es gibt nichts Drittes. Deshalb ist meine Seite der Wette so bequem.

Ich habe fast nichts behauptet. Und für fast nichts genügt als Begründung ein einziger Vogel. Das entlastet Sie auch zu Hause. Wer den Satz Du räumst nie auf bestreitet, behauptet nicht: Ich räume immer auf. Er behauptet nur, dass er mindestens einmal aufgeräumt hat. Und die Begründung, die er nach der ersten Regel des Tischs schuldet, ist ein einziger Dienstag. Widerlegen ist leichter als Beweisen, weil die Verneinung einer Allaussage so wenig behauptet, dass ein Fall sie belegt.

06 Das Gegenbeispiel und seine zwei Bedingungen

Ich stelle mir eine Allaussage gern als Gehege vor. Sie zieht einen Zaun um eine Gruppe, hier um alle Schwäne. Und sie behauptet etwas über jedes einzelne Tier darin, hier, dass es weiß ist. Ein Gegenbeispiel ist dann ein Tier, das im Gehege steht und die Farbe nicht hat. Daraus ergeben sich zwei Bedingungen, und beide müssen erfüllt sein. Erstens: Das Gegenbeispiel gehört zur Gruppe, über die die Allaussage redet.

Zweitens: Es verfehlt die Eigenschaft, die die Allaussage behauptet. Der Vogel von sechzehnhundertsiebenundneunzig war ein Schwan, und er war nicht weiß. Beides zusammen kippt den Satz. Der Dienstag war ein Tag im Leben des Sohnes, und an ihm war das Zimmer aufgeräumt. Auch das ist beides zusammen, und darum kippt er das Nie. Wie leicht die erste Bedingung übersehen wird, zeigt ein kurzes Beispiel. Gegen den Satz Alle Vögel können fliegen führt jemand die Fledermaus an.

Die fliegt schließlich. Aber die Fledermaus ist kein Vogel. Sie steht außerhalb des Geheges, und über die Vögel sagt sie darum nichts, so gut sie auch fliegt. Der Pinguin dagegen steht im Gehege und fliegt nicht. Der häufigste Fehler beim Widerlegen ist ein Gegenbeispiel aus dem falschen Gehege. Deshalb prüfe ich beide Bedingungen jedes Mal einzeln, auch wenn der Fall eindeutig scheint.

07 Warum Beweisen nicht geht

Jetzt kann ich sagen, warum die Wette unfair war. Vor sechzehnhundertsiebenundneunzig hatten die Menschen in Europa unzählige Schwäne gesehen, alle weiß. Und bewiesen hatten sie damit nichts. Die Allaussage redet ja nicht nur über die Schwäne, die jemand gesehen hat. Sie redet über jeden Schwan im Gehege, auch über die auf einem Fluss am anderen Ende der Welt, den noch kein Europäer befahren hatte. Beispiele können eine Allaussage stützen, sie plausibel machen, und für den Alltag reicht das meistens aus.

Beweisen können sie sie nicht, es sei denn, man hätte wirklich das ganze Gehege abgeschritten. Ein Gegenbeispiel dagegen erledigt sie endgültig, weil sie ausnahmslos alle Fälle versprochen hat. Deshalb wird gegen eine Allaussage auch nicht aufgerechnet. Tausend weiße Schwäne gegen einen schwarzen, das sieht nach einem klaren Ergebnis aus. Aber der Satz hatte nicht die meisten versprochen, sondern alle. Und die eine Ausnahme ist sein Ende. Die tausend zählen dagegen nichts.

Der Philosoph Karl Popper hat aus dieser Ungleichheit im Jahr neunzehnhundertvierunddreißig ein Bild dafür gemacht, wie Wissenschaft vorgeht. Ein allgemeines Gesetz lässt sich durch noch so viele Beobachtungen nie endgültig bestätigen, aber durch eine einzige widerlegen. Und darum bestehe die Arbeit der Forscher darin, nach dem schwarzen Schwan zu suchen. Ob alle Wissenschaft so arbeitet, bestreiten andere Philosophen bis heute. Dass Popper den Schwan gewählt hat, ist kein Zufall.

08 Redlich abschwächen

Bleibt die Frage, was man tut, wenn das Gegenbeispiel die eigene These trifft. Dafür gehe ich in die Küche. Sonntagabend. Die Mutter sagt: Du räumst nie auf. Der Sohn sagt: Und letzten Dienstag? Die Allaussage ist gefallen, und der Mutter stehen drei Wege offen. Der erste ist, stur zu bleiben. Das zählt nicht, einmal ist keinmal. Das ist unredlich, und es ist außerdem falsch. Denn ein Dienstag zählt gegen ein Nie genau so viel, wie ein schwarzer Schwan gegen ein Alle zählt.

Der zweite Weg ist, den Zaun heimlich zu versetzen. Ich meinte doch nur die Küche. Das ist ein Abschwächen, das sich nicht zu erkennen gibt. Und wer es bemerkt, traut auch dem nächsten Satz nicht mehr. Der dritte Weg ist, offen abzuschwächen. Stimmt, nicht nie. Aber viel zu selten. Sehen Sie sich an, was beim dritten Weg passiert. Es gibt eine Leiter von Fassungen, die derselbe Gedanke annehmen kann: alle, fast alle, die meisten, viele, manche, mindestens einer.

Je weiter oben ein Satz steht, desto mehr behauptet er, und desto leichter fällt er. Ganz oben genügt ein Gegenbeispiel. Ganz unten genügt eines zum Beweis. Abschwächen heißt, offen eine Stufe hinunterzugehen. Und die neue These verträgt dann Ausnahmen, weil sie sie ausdrücklich einräumt. Die meisten Tage nicht, das kippt an keinem Dienstag mehr. Das ist kein Rückzug, sondern ein Gewinn an Genauigkeit. In Alltagsworten: Die Mutter hat jetzt einen Satz, der stimmt, statt eines Satzes, der nur laut war.

Ich hätte Ihnen die Wette auch fair anbieten können. Sie behaupten: Die meisten Schwäne sind weiß. Ich bestreite es. Dann müssten wir zählen, und ich würde verlieren. Für die andere Seite gilt das Spiegelbild. Wer nur das Wörtchen Nie erlegt hat, hat den Streit noch nicht gewonnen. Die abgeschwächte These steht noch, und über das Zu selten muss er jetzt reden, mit Gründen. Das trifft auch Ihr Plakat vom Pausenhof.

Der Weil-Satz darunter ist die Stütze der These. Und wenn er eine Allaussage ist, kippt ihn ein einziges Gegenbeispiel. Prüfen Sie den Weil-Satz mit derselben Leiter wie die These.

09 Das Raster

Wenn Sie in einem Streit einen Satz vor sich haben, gehen Sie so vor. Fragen Sie zuerst, ob zwei Aussagen sich widersprechen, also ob beide zusammen wahr sein können, nicht, wer recht hat. Eine aufgedeckte Inkonsistenz zeigt, dass ein Satz fallen muss, nicht welcher. Fragen Sie dann, ob der Satz eine Allaussage ist. Achten Sie auf alle, jeder, immer, nie, niemand, keiner. Wer sie bestreitet, behauptet nur: mindestens einer nicht.

Prüfen Sie das Gegenbeispiel an zwei Bedingungen. Es gehört zur Gruppe, und es verfehlt die Eigenschaft. Aufrechnen hilft gegen eine Allaussage nicht, die erste Ausnahme genügt. Und wenn das Gegenbeispiel Ihre These trifft, schwächen Sie offen ab, eine Stufe auf der Leiter. Die neue These verträgt Ausnahmen und ist genauer als die alte. In der nächsten Etappe setze ich Aussagen zu dem zusammen, wofür sie gemacht sind: zu einem Argument, mit Gründen, die eine These stützen, und dem kleinen Wort Also dazwischen.

Sie lernen, ein Argument aus einem Text herauszulösen, auch wenn der Text sein Weil und sein Also verschweigt, es in Standardform zu bringen und die Prämisse zu ergänzen, die der Autor nie ausspricht. Heben Sie Ihre abgeschwächte These und ihren Grund auf. In der vierten Etappe werden sie zur Standardform.